Прогноз заработной платы

Задание № 1

Вариант № 1

По данным таблицы 1.1 требуется:

1. Для характеристики зависимости рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной;

б) степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Таблица 1.1

Номер региона	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, Y	Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., X
1	2	3
1	49,1	61,1
2	48,6	60,8
3	50,1	60,18
4	52,2	59,2
5	53,6	58,1
6	58,1	55,2
7	69,1	49,1

Решение:

а)

В соответствии с методом наименьших квадратов уравнение линейной регрессии имеет вид:

,

где

- параметры уравнения парной линейной регрессии.

При этом

-

эмпирический корреляционный момент случайных величин

среднее квадратическое отклонение случайной величины ,

дисперсия случайной величины ,

выборочное среднее значение случайной величины ,

выборочное среднее значение случайной величины ,

- выборочное среднее значение случайной величины ,

- выборочное среднее значение случайной величины ,

- объем выборки.

В нашем случае . Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.2

Номер региона
1	2	3	4	5	6
1	61,1	49,1	3000,01	3733,21	2410,81
1	2	3	4	5	6
2	60,8	48,6	2954,88	3696,64	2361,96
3	60,18	50,1	3015,018	3621,6324	2510,01
4	59,2	52,2	3090,24	3504,64	2724,84
5	58,1	53,6	3114,16	3375,61	2872,96
6	55,2	58,1	3207,12	3047,04	3375,61
7	49,1	69,1	3392,81	2410,81	4774,81
Итого403,68380,821774,23823389,582421031
Среднее 57,668654,43110,60543341,36893004,4286

Получаем:

Тогда

Параметры линейного регрессионного уравнения:

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значит с увеличением на 1 уменьшается в среднем на 1,691.

Таким образом, с увеличением среднедневной заработной платы работающего на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах) снижается в среднем на 1,691 %.

Найдем линейный коэффициент парной корреляции , являющийся мерой тесноты связи между переменными и . Для этого воспользуемся формулой:

где

Итак,

Значит линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции характеризует зависимость от и меняется от -1 до 1.

По коэффициенту корреляции можно сделать вывод, что линейная связь между и обратная (так как ) и весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации позволяет сделать вывод о том, что линейное уравнение вполне адекватно описывает зависимость между и (вариация на 99,7 % объясняется влиянием показателя ).

Точность модели характеризуется величиной отклонения расчетных значений от фактических. Средняя относительная ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических, определяется по формуле:

где

n - объем выборки,

значение регрессионной функции.

Составим расчетную таблицу:

Таблица 1.3

Номер региона
1	2	3	4	5	6	7
1	61,1	49,1	48,5799	0,5201	0,010592668	0,010592668
2	60,8	48,6	49,0872	-0,4872	-0,01002469	0,01002469
3	60,18	50,1	50,13562	-0,03562	-0,00071098	0,00071098
4	59,2	52,2	51,7928	0,4072	0,007800766	0,007800766
5	58,1	53,6	53,6529	-0,0529	-0,00098694	0,00098694
6	55,2	58,1	58,5568	-0,4568	-0,00786231	0,00786231
7	49,1	69,1	68,8719	0,2281	0,003301013	0,003301013
Итого403,68380,8380,677120,122880,0021095310,041279363

В нашем случае

Таким образом, в среднем расчетные значения линейной модели

отклоняются от фактических на 0,59 %.

Проверим значимость с доверительной вероятностью (то есть на уровне значимости ) с помощью критерия Фишера.

Наблюдаемое (фактическое) значение критерия Фишера определяется как

Критическое значение критерия Фишера определяется как

по таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора, где

число степеней свободы большей дисперсии,

число степеней свободы меньшей дисперсии

( число факторных переменных, определяющих модель).

При гипотеза об отсутствии линейной связи (то есть о том, что ) отклоняется, и соответственно коэффициент парной корреляции является значимым.

При гипотеза об отсутствии связи линейной верна, и соответственно коэффициент парной корреляции является незначимым.

В нашем случае

Оказалось, что , следовательно, гипотеза об отсутствии линейной связи неверна, и соответственно коэффициент парной корреляции

является значимым.

Таким образом, найденное линейное уравнение в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах).

б)

Найдем уравнение степенной регрессии:

Прологарифмируем обе части уравнения

После замены переменных получим линейную модель , то есть .

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры уравнения линейной регрессии определим по формулам:

Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.4

Номер региона
1	2	3	4	5	6	7
1	61,1	49,1	4,112511866	3,893859035	16,01354149	16,91275385
2	60,8	48,6	4,107589789	3,883623531	15,95233236	16,87229387
3	60,18	50,1	4,097340071	3,914021008	16,03707512	16,78819566
4	59,2	52,2	4,080921542	3,955082495	16,14038135	16,65392063
5	58,1	53,6	4,062165664	3,981549068	16,17371191	16,50118988
6	55,2	58,1	4,010962953	4,062165664	16,29319599	16,08782381
7	49,1	69,1	3,893859035	4,235554731	16,49265306	15,16213818
Итого403,68380,828,3653509227,92585553113,1028913114,9783159