Кооперативные игры

Обозначим через uG характеристическую функцию бескоалиционной игры. Эта функция обладает следующими свойствами:

Персональность: uG (Æ) = 0,т.е. коалиция, не содержащая ни одного игрока, ничего не выигрывает;

Супераддитивность:

uG (KÈL) ³ uG (K) + uG (L), если K, L Ì N, KÇL ¹ Æ,

т.е. общий выигрыш коалиции не меньше суммарного выигрыша всех участников коалиции;

Дополнительность:

uG (K) + u (N) = u (N)

т.е. для бескоалиционной игры с постоянной суммой сумма выигрышей коалиции и остальных игроков должна равняться общей сумме выигрышей всех игроков. Распределение выигрышей (делёж) игроков должно удовлетворять следующим естественным условиям: если обозначить через xi выигрыш i-го игрока, то, во-первых, должно удовлетворяться условие индивидуальной рациональности

i ³ u (i), для i ÎN

т.е. любой игрок должен получить выигрыш в коалиции не меньше, чем он получил бы, не участвуя в ней (в противном случае он не будет участвовать в коалиции); во-вторых, должно удовлетворяться условие коллективной рациональности

= u (N)

т.е. сумма выигрышей игроков должна соответствовать возможностям (если сумма выигрышей всех игроков меньше, чем  (N), то игрокам незачем вступать в коалицию; если же потребовать, чтобы сумма выигрышей была больше, чем  (N), то это значит, что игроки должны делить между собой сумму большую, чем у них есть). Таким образом, вектор x = (x1, ., xn), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности, называется дележём в условиях характеристической функции . Система {N, }, состоящая из множества игроков, характеристической функции над этим множеством и множеством дележей, удовлетворяющих соотношениям (2) и (3) в условиях характеристической функции, называется классической кооперативной игрой. Кооперативная игра с множеством игроков N и характеристической функцией  называется стратегически эквивалентной игрой с тем же множеством игроков и характеристической функцией 1, если найдутся такие к  0 и произвольные вещественные Ci (iN), что для любой коалиции К  N имеет место равенство:

u1 (K) = k u (K) +

Смысл определения стратегической эквивалентности кооперативных игр (с. э. к. и) состоит в том, что характеристические функции с. э. к. и. отличаются только масштабом измерения выигрышей k и начальным капиталом Ci. Стратегическая эквивалентность кооперативных игр с характеристическими функциями u и u1 обозначается так u~u1. Часто вместо стратегической эквивалентности кооперативных игр говорят о стратегической эквивалентности их характеристических функций. Справедливы следующие свойства для стратегических эквивалентных игр:

. Рефлексивность, т.е. каждая характеристическая функция эквивалентна себе u~u.

. Симметрия, т.е. если u~u1, то u1~u.

. Транзитивность, т.е. если u~u1 и u1~u2, то u~u2.

Одними из наиболее интересных способов решения коалиционных игр являются решения с применением аксиом Шелли.